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设{an}的公比q的等比数列.(1)推导{an}的前n项和公式;(2)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.
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设{an}的公比q的等比数列.
(1)推导{an}的前n项和公式;
(2)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.
(1)推导{an}的前n项和公式;
(2)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.
▼优质解答
答案和解析
(1) q≠0.
当q=1时,Sn=na1;
当q≠1时,Sn=a1+a2+…+an,
qSn=a1q+a2q+…+anq=a2+a3+…+an+anq,
∴(1-q)Sn=a1-anq,
∴Sn=
=
,
∴Sn=
,
(2)证明:假设q≠1时,数列{an+1}是等比数列.
则(a2+1)2=(a1+1)(a3+1),
即(a1q+1)2=(a1+1)(a1q2+1),
化为(q-1)2=0.解得q=1,与q≠1矛盾,
因此假设不成立,
故原结论:数列{an+1}不是等比数列成立.
当q=1时,Sn=na1;
当q≠1时,Sn=a1+a2+…+an,
qSn=a1q+a2q+…+anq=a2+a3+…+an+anq,
∴(1-q)Sn=a1-anq,
∴Sn=
a1-anq |
1-q |
a1(1-qn) |
1-q |
∴Sn=
|
(2)证明:假设q≠1时,数列{an+1}是等比数列.
则(a2+1)2=(a1+1)(a3+1),
即(a1q+1)2=(a1+1)(a1q2+1),
化为(q-1)2=0.解得q=1,与q≠1矛盾,
因此假设不成立,
故原结论:数列{an+1}不是等比数列成立.
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