如图，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，若AB=BC=2BD，则二面角B-AC-D的正弦值为105105．

Question

如图，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，若AB=BC=2BD，则二面角B-AC-D的正弦值为

(√(10))/(5)

(√(10))/(5)

．

Answer 1

取AC中点E，连EB，过E做AC的垂线交AD于F
设AB=2a，BC=2a，BD=a，AC=2√(2a)，DC=√(3a)，
在△ADC中，AF=(4√(5))/(5)，
在△ABD中，AD⊥BF，
又DC⊥BD，由三垂线定理知AD⊥DC，
∴DC⊥面ABD 又BF⊂面ABD，
∴BF⊥DC，BF⊥面ADC，∴△BFE是直角三角形，
∠BEF是二面角B-AC-D的平面角，
sin∠BEF=(FB)/(EB)=(√(10))/(5)．
故答案为：(√(10))/(5)．