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已知实系数多项式f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d满足f(1)=2,f(2)=4,f(3)=6,则f(0)+f(4)的所有可能值集合为.
题目详情
已知实系数多项式f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d满足f(1)=2,f(2)=4,f(3)=6,则f(0)+f(4)的所有可能值集合为___.
▼优质解答
答案和解析
构造函数g(x)=f(x)-2x,则g(1)=g(2)=g(3)=0,
即1,2,3为方程f(x)-2x=0的三个根
∵方程f(x)-2x=0有四个根,
故可设方程f(x)-2x=0的另一根为m
则f(x)-2x=(x-1)(x-2)(x-3)(x-m)
∴f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-m)+2x
所以f(0)+f(4)=6m+6(4-m)+8=32,
所以f(0)+f(4)的所有可能值集合为{32}.
即1,2,3为方程f(x)-2x=0的三个根
∵方程f(x)-2x=0有四个根,
故可设方程f(x)-2x=0的另一根为m
则f(x)-2x=(x-1)(x-2)(x-3)(x-m)
∴f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-m)+2x
所以f(0)+f(4)=6m+6(4-m)+8=32,
所以f(0)+f(4)的所有可能值集合为{32}.
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