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如图,以△ABC各边向同一侧作三个等边三角形△ABD,△ACE,△BCF.(1)四边形AEFD是什么形状?(2)当△ABC满足条件时,四边形AEFD不存在;(3)在△ABC中,当AC=3,AB=4,BC=5时,求四边
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如图,以△ABC各边向同一侧作三个等边三角形△ABD,△ACE,△BCF.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b8389b504fc2d56235763659e41190ef76c66c0c.jpg)
(1)四边形AEFD是什么形状?
(2)当△ABC满足条件______时,四边形AEFD不存在;
(3)在△ABC中,当AC=3,AB=4,BC=5时,求四边形AEFD的面积.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b8389b504fc2d56235763659e41190ef76c66c0c.jpg)
(1)四边形AEFD是什么形状?
(2)当△ABC满足条件______时,四边形AEFD不存在;
(3)在△ABC中,当AC=3,AB=4,BC=5时,求四边形AEFD的面积.
▼优质解答
答案和解析
(1)四边形AEFD是平行四边形;
∵△ABD和△FBC都是等边三角形,
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°,BD=BA,BF=BC
∴∠DBF=∠ABC.
在△ABC与△DBF中,
,
∴△ABC≌△DBF(SAS),
∴AC=DF=AE,
同理可证△ABC≌△EFC,
∴AB=EF=AD,
∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
(2)△ABC是等边三角形时,A与F重合,四边形AEFD不存在;
(3)∵如图,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,
∴BC2=AB2+AC2,
∴∠BAC=90°,
∵△ABD,△ACE都是等边三角形,
∴∠DAB=∠EAC=60°,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f703738da9773912a32d45d0fb198618367ae27c.jpg)
∴∠DAE=150°.
∵四边形DAEF是平行四边形,
∴FD∥AE,
∴∠FDA=180°-∠DAE=30°,
∴S▱AEFD=AD•DF•sin30°=3×4×
=6.
答:四边形AEFD的面积是6.
∵△ABD和△FBC都是等边三角形,
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°,BD=BA,BF=BC
∴∠DBF=∠ABC.
在△ABC与△DBF中,
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∴△ABC≌△DBF(SAS),
∴AC=DF=AE,
同理可证△ABC≌△EFC,
∴AB=EF=AD,
∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
(2)△ABC是等边三角形时,A与F重合,四边形AEFD不存在;
(3)∵如图,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,
∴BC2=AB2+AC2,
∴∠BAC=90°,
∵△ABD,△ACE都是等边三角形,
∴∠DAB=∠EAC=60°,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f703738da9773912a32d45d0fb198618367ae27c.jpg)
∴∠DAE=150°.
∵四边形DAEF是平行四边形,
∴FD∥AE,
∴∠FDA=180°-∠DAE=30°,
∴S▱AEFD=AD•DF•sin30°=3×4×
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答:四边形AEFD的面积是6.
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