在△ABC中,角ACB=90°,角CAB=30°,BC=1,D为线段AB上一动点（不与点A重合）,以AB为边在△ABC外作等边三角形△AED,过点D作DE的垂线,F为垂线上任一点,G为EF的中点,则线段CG长度的最小值是多少?

Question

在△ABC中,角ACB=90°,角CAB=30°,BC=1,D为线段AB上一动点（不与点A重合）,以AB为边在△ABC外作等边
三角形△AED ,过点D作DE的垂线,F为垂线上任一点,G为EF的中点,则线段CG长度的最小值是多少?

Answer 1

连接GD,GA,
RT三角形中线等于斜边的一半,
∴GD=GE
而且DA=EA,
由全等可以得到GA垂直平分DE,
∴∠GAD=30°,
∴∠GAC=60°
在△ACG中用正弦定理
GC/sin∠CAG=CA/sin∠CGA
∴GC=CA*sin∠CAG/sin∠CGA=√3/2*sin60°/sin∠CGA=3/2/sin∠CGA
当∠CGA=90°时取最小值3/2