在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0），点B是圆C：（x-2）2+y2=4上的点，点M为AB的中点，若直线l：y=kx-5k上存在点P，使得∠OPM=30°，则实数k的取值范围为

Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0），点B是圆C：（x-2）²+y²=4上的点，点M为AB的中点，若直线l：y=kx- √(5)k上存在点P，使得∠OPM=30°，则实数k的取值范围为___．

Answer 1

设M（x，y），则B（2x+2，2y），代入圆C：（x-2）²+y²=4，可得（2x+2-2）²+（2y）²=4，
即x²+y²=1
由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，此时OP=2．
∵圆上存在点点P，使得∠OPM=30°，
∴圆心到直线的距离d=(|√(5)k|)/(√(k2+1))≤2，
∴-2≤k≤2，
故答案为：[-2，2]．