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如图,△ABC与△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,分别作▱ABFD与▱ACGE,连接AF,CE.(1)当点D在△ABC外,如图1,求证:AF=CE,AF⊥CE;(2)当点D在△ABC内,如图2,问题(1)中的结论
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如图,△ABC与△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,分别作▱ABFD与▱ACGE,连接AF,CE.
(1)当点D在△ABC外,如图1,求证:AF=CE,AF⊥CE;
(2)当点D在△ABC内,如图2,问题(1)中的结论是否成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.
(1)当点D在△ABC外,如图1,求证:AF=CE,AF⊥CE;
(2)当点D在△ABC内,如图2,问题(1)中的结论是否成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)如图1,∵△ABC与△ADE都是等腰直角三角形,
∴AB=AC,AD=AE,
∵四边形ABFD是平行四边形,
∴AD=BF,AD∥BF,
∴BF=AE,
∵AD∥BF,
∴∠DAB+∠FBA=180°,
∵∠DAE=∠BAC=90°,
∴∠DAB+∠EAC=180°,
∴∠EAC=∠FBA,
在△EAC和△FBA中,
∵
,
∴△EAC≌△FBA(SAS),
∴EC=AF,∠AFB=∠AEC,
延长FA交EC于G,
∵AD∥FB,
∴∠AFB=∠DAF,
∴∠DAF=∠AEC,
∵∠DAE=90°,
∴∠DAF+∠EAG=90°,
∴∠AEC+∠EAG=90°,
∴∠AGE=90°,
∴AF⊥BC;
(2)如图2,结论仍然成立,理由是:
同理得:AB=AC,BF=AE,
作射线CA至H,则∠HAE+∠EAC=180°,
∵BF∥AD,
∴∠FBA+∠BAD=180°,
∵∠BAH=∠EAD=90°,
∴∠HAE+∠EAB=90°,∠BAD+∠EAB=90°,
∴∠HAE=∠BAD,
∴∠EAC=∠FBA,
∴△EAC≌△FBA,
∴AF=EC,∠BAF=∠ECA,
设CE与AB交于N,AF与EC交于点M,
∵∠BAC=90°,
∴∠ECA+∠ANC=90°,
∴∠BAF+∠ANC=90°,
∴∠AME=90°,
∴AF⊥EC.
∴AB=AC,AD=AE,
∵四边形ABFD是平行四边形,
∴AD=BF,AD∥BF,
∴BF=AE,
∵AD∥BF,
∴∠DAB+∠FBA=180°,
∵∠DAE=∠BAC=90°,
∴∠DAB+∠EAC=180°,
∴∠EAC=∠FBA,
在△EAC和△FBA中,
∵
|
∴△EAC≌△FBA(SAS),
∴EC=AF,∠AFB=∠AEC,
延长FA交EC于G,
∵AD∥FB,
∴∠AFB=∠DAF,
∴∠DAF=∠AEC,
∵∠DAE=90°,
∴∠DAF+∠EAG=90°,
∴∠AEC+∠EAG=90°,
∴∠AGE=90°,
∴AF⊥BC;
(2)如图2,结论仍然成立,理由是:
同理得:AB=AC,BF=AE,
作射线CA至H,则∠HAE+∠EAC=180°,
∵BF∥AD,
∴∠FBA+∠BAD=180°,
∵∠BAH=∠EAD=90°,
∴∠HAE+∠EAB=90°,∠BAD+∠EAB=90°,
∴∠HAE=∠BAD,
∴∠EAC=∠FBA,
∴△EAC≌△FBA,
∴AF=EC,∠BAF=∠ECA,
设CE与AB交于N,AF与EC交于点M,
∵∠BAC=90°,
∴∠ECA+∠ANC=90°,
∴∠BAF+∠ANC=90°,
∴∠AME=90°,
∴AF⊥EC.
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