已知数列{an}的前n项和为Sn，且对于任意的n∈N*，恒有Sn=2an-n，设bn=log2（an+1）．（1）求证：数列{an+1}是等比数列；（2）求数列{an}，{bn}的通项公式an和bn；（3）若cn＝2bnan•an+1，证明：c1+c2+…

Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对于任意的n∈N^*，恒有S_n=2a_n-n，设b_n=log₂（a_n+1）．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n和b_n；
（3）若cn＝(2bn)/(an•an+1)，证明：c1+c2+…+cn＜(4)/(3)．

Answer 1

（1）当n=1时，S₁=2a₁-1得a₁=1，
当n≥2时，S_n=2a_n-n，S_n-1=2a_n-1-（n-1），
两式相减得：a_n=2a_n-2a_n-1-1，
∴a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1）
∴{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．     
（2）由（1）得an+1＝2•2n−1＝2n，
∴an＝2n−1，n∈N*
∴bn＝log2(an+1)＝log22n＝n，n∈N*．
（3）证法一：cn＝(2n)/(anan+1)，cn+1＝(2n+1)/(an+1an+2)
由{a_n}为正项数列，所以{c_n}也为正项数列，
从而(cn+1)/(cn)＝(2an)/(an+2)＝(2(2n−1))/(2n+2−1)＜(2(2n−1))/(2n+2−4)＝(1)/(2)，
∴数列{c_n}递减．
c1+c2+…+cn＜c1+(1)/(2)c1+((1)/(2))2c1+…+((1)/(2))n−1c1=(1−((1)/(2))n)/(1−(1)/(2))•c1＜(4)/(3)．
证法二：由cn＝(2n)/((2作业帮用户2017-09-17举报问题解析（1）当n=1时，a1=S1；当n≥2时，利用an=Sn-Sn-1可得an+1=2（an-1+1）即可证明{an+1}是等比数列．（2）由（1）利用等比数列的通项公式和已知即可得出；（3）证法一：利用cn＝(2n)/(anan+1)，由于{an}为正项数列，可得以{cn}也为正项数列，从而(cn+1)/(cn)＜(1)/(2)，可得数列{cn}递减．通过放缩法，再利用等比数列的前n项和公式即可得出；证法二：由于cn＝(2n)/((2n−1)(2n+1−1))＝(1)/(2n−1)−(1)/(2n+1−1)，利用“裂项求和”和放缩法即可得出．名师点评本题考点：数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比关系的确定．考点点评：本题考查了利用“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，利用an=Sn-Sn-1”求an、等比数列的通项公式和前n项和公式、“裂项求和”和放缩法等基础知识与基本技能方法，属于难题．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)