已知公差不为零的等差数列{an}满足a5=10，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）设Sn为数列{an}的前n项和，求数列{1Sn}的前n项和Tn．

Question

已知公差不为零的等差数列{a_n}满足a₅=10，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设S_n为数列{a_n}的前n项和，求数列{(1)/(Sn)}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）由题意，设公差为d，则

a1+4d＝10

(a1+2d)2＝a1(a1+8d)

∴

a1+4d＝10

4d2＝4a1d

∵d≠0，∴a₁=2，d=2
∴a_n=2+（n-1）×2=2n；
（2）由（1）知，Sn＝(n(2+2n))/(2)＝n2+n
∴(1)/(Sn)＝(1)/(n2+n)=(1)/(n)−(1)/(n+1)
∴数列{(1)/(Sn)}的前n项和T_n=（1-(1)/(2)）+（(1)/(2)−(1)/(3)）+…+（(1)/(n)−(1)/(n+1)）=1−(1)/(n+1)=

n

作业帮用户 2016-11-20 举报

问题解析

（1）利用公差不为零的等差数列{a_n}满足a₅=10，且a₁，a₃，a₉成等比数列，建立方程组，求得数列的首项与公差，从而可得数列的通项；
（2）先求S_n，再利用裂项法求数列{(1)/(Sn)}的前n项和T_n．

名师点评

本题考点：

数列的求和；等比数列的通项公式．

考点点评：

本题考查数列的通项与求和，解题的关键是确定数列的首项与公差，正确运用求和公式．

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