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如图1,在正方形ABCD中,点P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于点F,(1)证明:PC=PE;(2)求∠CPE的度数;(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当
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如图1,在正方形ABCD中,点P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于点F,
(1)证明:PC=PE;
(2)求∠CPE的度数;
(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.
(1)证明:PC=PE;
(2)求∠CPE的度数;
(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC,
∠ABP=∠CBP=45°,
在△ABP和△CBP中,
,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC,
∵PA=PE,
∴PC=PE;
(2) 由(1)知,△ABP≌△CBP,
∴∠BAP=∠BCP,
∴∠DAP=∠DCP,
∵PA=PE,
∴∠DAP=∠E,
∴∠DCP=∠E,
∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),
∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E,
即∠CPF=∠EDF=90°
(3) AP=CE;理由如下:
在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=60°,
在△ABP和△CBP中,
,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC,∠BAP=∠BCP,
∵PA=PE,
∴PC=PE,
∴∠DAP=∠DCP,
∵PA=PC,
∴∠DAP=∠AEP,
∴∠DCP=∠AEP
∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),
∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠AEP,
即∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°,
∴△EPC是等边三角形,
∴PC=CE,
∴AP=CE.
∠ABP=∠CBP=45°,
在△ABP和△CBP中,
|
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC,
∵PA=PE,
∴PC=PE;
(2) 由(1)知,△ABP≌△CBP,
∴∠BAP=∠BCP,
∴∠DAP=∠DCP,
∵PA=PE,
∴∠DAP=∠E,
∴∠DCP=∠E,
∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),
∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E,
即∠CPF=∠EDF=90°
(3) AP=CE;理由如下:
在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=60°,
在△ABP和△CBP中,
|
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC,∠BAP=∠BCP,
∵PA=PE,
∴PC=PE,
∴∠DAP=∠DCP,
∵PA=PC,
∴∠DAP=∠AEP,
∴∠DCP=∠AEP
∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),
∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠AEP,
即∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°,
∴△EPC是等边三角形,
∴PC=CE,
∴AP=CE.
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