已知在等比数列{an}中，2a2=a1+a3-1，a1=1．（1）若数列{bn}满足b1+b22+b33+…+bnn=an（n∈N*），求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和Sn．

Question

已知在等比数列{a_n}中，2a₂=a₁+a₃-1，a₁=1．
（1）若数列{b_n}满足b₁+(b2)/(2)+(b3)/(3)+…+(bn)/(n)=a_n（n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）设数列{a_n}的公比为q，2a₂=a₁+a₃-1，
即2a1q＝a1+a1q2−1，
∵a₁=1，∴2q=q²，
∵q≠0，∴q=2，an＝2n−1．
又b1+(b2)/(2)+(b3)/(3)+…+(bn)/(n)＝an，①
当n≥2时，b₁+(b2)/(2)+(b3)/(3)+…+(bn−1)/(n−1)=a_n-1，②
①-②，得
(bn)/(n)＝an−an−1=2^n-1-2^n-2=2^n-2，
∴b_n=n•2^n-2，n≥2．
∴b_n=

1，n＝1

n•2n−2，n≥2

．
（2）由（1）得S_n=1+2×2⁰+3×2¹+4×2²+…+n•2^n-2，③
2S_n=2+2×2¹+3×2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，④
③-④得
-S_n=1+2+2²+…+2^n-2-n•2^n-1
=(1−2n−1)/(1−2)-n•2^n-1
=（1-n）•2^n-1-1，
∴S_n=（n-1）•2^n-1+1．