已知{an}是等比数列，a1=2，且a1，a3+1，a4成等差数列．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=log2an，求数列{bn}的前n项和Sn．

Question

已知{a_n}是等比数列，a₁=2，且a₁，a₃+1，a₄成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，则a3＝a1•q2＝2q2，a4＝a1•q3＝2q3，
∵a₁，a₃+1，a₄成等差数列，
∴a₁+a₄=2（a₃+1），即2+2q³=2（2q²+1），
整理得q²（q-2）=0，
∵q≠0，∴q=2，
∴an＝2×2n−1＝2n（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵bn＝log2an＝log22n＝n，
∴Sn＝b1+b2+…+bn＝1+2+…+n＝(n(n+1))/(2)．
∴（I）数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ（n∈N^*），
（Ⅱ）数列{b_n}的前n项和sn＝(n(n+1))/(2)．