1计算二重积分∫D∫根号下x^2-ydxdy,D=x^2+y^2

Question

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计算二重积分∫D∫根号下x^2-ydxdy,D=x^2+y^2

Answer 1

这个题目不难啊,
因为积分区域关于x轴对称,
所以∫∫D ydxdy=0
且因为x和y在积分区域的对称性,∫∫x^2dxdy=∫∫y^2dxdy
所以
原积分=∫∫(x^2-y)dxdy=∫∫x^2dxdy=(1/2)∫∫(x^2+y^2)dxdy=(1/2)∫∫r^2 rdrdθ
=(1/2)[∫(0->2π) dθ] * [∫(0->1) r^3dr]
=π/4