验证曲线积分∫Γ（y+z）dx+（z+x）dy+（x+y）dz与路径无关，并求函数u（x，y，z）=∫(x，y，z)(0，0，0)（y+z）dx+（z+x）dy+（x+y）dz．

Question

验证曲线积分

∫

Γ

（y+z）dx+（z+x）dy+（x+y）dz与路径无关，并求函数u（x，y，z）=

∫	(x，y，z) (0，0，0)

（y+z） dx+（z+x）dy+（x+y）dz．

Answer 1

令P=y+z，Q=z+x，R=x+y，则它们在整个空间具有一阶连续偏导数，
且(∂P)/(∂y)=1=(∂Q)/(∂x)，(∂Q)/(∂z)=1=(∂R)/(∂y)，(∂R)/(∂x)=1=(∂P)/(∂y)
∴积分与路径无关，因此取折线路径，积分如下：
u（x，y，z）=

∫

x 0

0dx+

∫

y 0

xdy+

∫

z 0

(x+y)dz
=xy+（x+y）z=xy+yz+zx