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证明在三角形ABC中,tan2分之Atan2分之B+tan2分之Btan2分之C+tan2分之Ctan2分之A=1
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证明在三角形ABC中,tan2分之Atan2分之B+tan2分之Btan2分之C+tan2分之Ctan2分之A=1
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答案和解析
证明:由于A,B,C为△ABC中三个内角 ,则:tanA/2*tanB/2+tanB/2*tanC/2+tanC/2*tanA/2 =tanA/2*tanB/2+tanB/2*tan[pi/2-(A+B)/2]+tan[pi/2-(A+B)/2]*tanA/2 =tanA/2*tanB/2+tanB/2*cot[(A+B)/2]+cot[(A+B)/2]*tanA/2 =tanA/2*tanB/2+cot[(A+B)/2]*[tanA/2+tanB/2] 由于:tan[(A+B)/2]=[tanA/2+tanB/2]/[1-tanA/2*tanB/2] 故:tanA/2+tanB/2=tan[(A+B)/2]*[1-tanA/2*tanB/2] 则原式=tanA/2*tanB/2+cot[(A+B)/2]*{tan[(A+B)/2]*[1-tanA/2*tanB/2]} =tanA/2*tanB/2 + 1 *(1-tanA/2*tanB/2) =tanA/2*tanB/2+1-tanA/2*tanB/2=1 原命题得证
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