求lim,x趋于0时,{(1^x+2^x+3^x)/3}^1/x=?如图.求极限.

Question

求lim,x趋于0时,{(1^x+2^x+3^x)/3}^1/x=?
如图.求极限.

Answer 1

原式=lim(x->0) e^{ln[(1^x+2^x+3^x)/3]^(1/x)}
=e^lim(x->0) {ln[(1^x+2^x+3^x)/3]/x}
因为ln[(1^x+2^x+3^x)/3]->0 x->0,所以是“0/0”型,可以用洛必达法则
原式=e^lim(x->0) {(ln2*2^x+ln3*3^x)/(1+2^x+3^x)}
=e^[(ln2+ln3)/3]