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已知正实数x,y满足4x2-2xy+y2=1,则2x+y的取值范围是;2x-y的取值范围是.
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已知正实数x,y满足4x2-2xy+y2=1,则2x+y的取值范围是___;2x-y的取值范围是___.
▼优质解答
答案和解析
令t=2x+y,则y=-2x+t,t>0,
代入4x2-2xy+y2=1得:4x2-2x(-2x+t)+(-2x+t)2=1,
即12x2-6tx+t2-1=0,
由△=36t2-48(t2-1)≥0得:t∈[-2,2],
又由4x2+4xy+y2=1+6xy>1,即(2x+y)2>1,
解得:2x+y∈(1,+∞),
故2x+y∈(1,2],
同理令t=2x-y,则y=2x-t,
代入4x2-2xy+y2=1得:4x2-2x(2x-t)+(2x-t)2=1,
即4x2-2tx+t2-1=0,
由△=4t2-16(t2-1)≥0得:t∈[-
,
],
又由4x2-4xy+y2=1-2xy<1,即(2x-y)2<1,
解得:2x-y∈(-1,1),
故2x-y∈(-1,1),
故答案为:(1,2],(-1,1)
代入4x2-2xy+y2=1得:4x2-2x(-2x+t)+(-2x+t)2=1,
即12x2-6tx+t2-1=0,
由△=36t2-48(t2-1)≥0得:t∈[-2,2],
又由4x2+4xy+y2=1+6xy>1,即(2x+y)2>1,
解得:2x+y∈(1,+∞),
故2x+y∈(1,2],
同理令t=2x-y,则y=2x-t,
代入4x2-2xy+y2=1得:4x2-2x(2x-t)+(2x-t)2=1,
即4x2-2tx+t2-1=0,
由△=4t2-16(t2-1)≥0得:t∈[-
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3 |
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又由4x2-4xy+y2=1-2xy<1,即(2x-y)2<1,
解得:2x-y∈(-1,1),
故2x-y∈(-1,1),
故答案为:(1,2],(-1,1)
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