已知正实数x，y满足4x2-2xy+y2=1，则2x+y的取值范围是；2x-y的取值范围是．

Question

已知正实数x，y满足4x²-2xy+y²=1，则2x+y的取值范围是___；2x-y的取值范围是___．

Answer 1

令t=2x+y，则y=-2x+t，t>0，
代入4x²-2xy+y²=1得：4x²-2x（-2x+t）+（-2x+t）²=1，
即12x²-6tx+t²-1=0，
由△=36t²-48（t²-1）≥0得：t∈[-2，2]，
又由4x²+4xy+y²=1+6xy>1，即（2x+y）²>1，
解得：2x+y∈（1，+∞），
故2x+y∈（1，2]，
同理令t=2x-y，则y=2x-t，
代入4x²-2xy+y²=1得：4x²-2x（2x-t）+（2x-t）²=1，
即4x²-2tx+t²-1=0，
由△=4t²-16（t²-1）≥0得：t∈[-(2√(3))/(3)，(2√(3))/(3)]，
又由4x²-4xy+y²=1-2xy<1，即（2x-y）²<1，
解得：2x-y∈（-1，1），
故2x-y∈（-1，1），
故答案为：（1，2]，（-1，1）