如图，P（m，n）是函数y=6x（x>0）的图象上的一个动点，过点P分别作PA⊥x轴于A、PB⊥y轴于B，PA、PB分别与函数y=2x（x>0）的图象交于点C、D，连接AB、CD．（1）求证：AB∥CD；（2）在点P移动的

Question

如图，P（m，n）是函数y=(6)/(x)（x>0）的图象上的一个动点，过点P分别作PA⊥x轴于A、PB⊥y轴于B，PA、PB分别与函数y=(2)/(x)（x>0）的图象交于点C、D，连接AB、CD．

（1）求证：AB∥CD；
（2）在点P移动的过程中，△OCD的面积S是否会发生改变？若不改变，求出S的值；若改变，求出S与m之间的函数表达式．

Answer 1

（1）证明：根据题意得：四边形OAPB是矩形，
∵P（m，n）在函数y=(6)/(x)（x>0）的图象上，
∴n=(6)/(m)，
∴P（m，(6)/(m)），
∴A（m，0），C（m，(2)/(m)），B（0，(6)/(m)），D（(m)/(3)，(6)/(m)），
∴PA=(6)/(m)，PC=(4)/(m)，PB=m，PD=(2)/(3)m，
∴(PC)/(PA)=((4)/(m))/((6)/(m))=(2)/(3)，(PD)/(PB)=((2)/(3)m)/(m)=(2)/(3)，
∴(PC)/(PA)=(PD)/(PB)，
∵∠CPD=∠APB，
∴△PCD∽△PAB，
∴∠PCD=∠PAB，
∴AB∥CD；
（2） △OCD的面积不变；理由如下：
根据题意得：S=S_矩形OAPB-S_△OAC-S_△OBD-S_△PCD=m•(6)/(m)-(1)/(2)•m•(2)/(m)-(1)/(2)•(m)/(3)•(6)/(m)-(1)/(2)•(4)/(m)•(2)/(3)m=6-1-1-(4)/(3)=(8)/(3)．