已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）=-f（x）．（1）求证：f（x）是周期函数；（2）若f（x）为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝12x，求使f(x)＝−12在[0，2010]上的所有x的个数．

Question

已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）=-f（x）．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）若f（x）为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝(1)/(2)x，求使f(x)＝−(1)/(2)在[0，2010]上的所有x的个数．

Answer 1

（1）证明：∵f（x+2）=-f（x）
∴f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=f（x）
∴f（x）是以4为周期的函数．
（2）当0≤x≤1时，f（x）=(1)/(2)x，
设-1≤x≤0，则0≤-x≤1，
∴f（-x）=（-x）=-x．
∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=-(1)/(2)x，即f（x）=(1)/(2)x．故f（x）=(1)/(2)x（-1≤x≤1）
又设1＜x＜3，则-1＜x-2＜1，
∴f（x-2）=(1)/(2)（x-2），
又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f[（-x）+2]=-[-f（-x）]=-f（x），
∴-f（x）=(1)/(2)（x-2），∴f（x）=-(1)/(2)（x-2）（1＜x＜3）．
∴f（x）=

(1)/(2)x，−1≤x≤1

−(1)/(2)(x−2)，1＜x＜3

由f（x）=-(1)/(2)，解得x=-1．
∵f（x）是以4为周期的周期函数．故f（x）=-(1)/(2)的所有x=4n-1（n∈Z）．令0≤4n-1≤2010，则(1)/(4)≤n≤502，
又∵n∈Z，∴1≤n≤502（n∈Z），
∴在[0，2010]上共有502个x使f（x）=-(1)/(2)．