x^2y```+xy``-4y`=3x微分方程x^2y```+xy``-4y`=3x

Question

x^2y```+xy``-4y`=3x微分方程
x^2y```+xy``-4y`=3x

Answer 1

设x＝e^t,则代换原方程得y'''－2y''－3y'＝3e^（2t）.(1)
先求（1）齐次式特
∵特征方程r³-2r²-3r=0的解是r1=0,r2=-1,r3=3
∴（1）齐次式特解是 y=C1+C2e^（-t）+C3e^（3t）,（C1,C2,C3是常数）
∵设（1）的一个特解为 y=Ae^(2t),
则把它代入（1）得 A=-1/2
∴（1）的一个特解为 y=-e^(2t)/2.
∴方程（1）的通解是 y=C1+C2e^（-t）+C3e^（3t）-e^(2t)/2.(2)
把x＝e^t代入（2）得 y=C1+C2/x+C3x³-x²/2.
故微分方程x^2y```+xy``-4y`=3x的解为：y=C1+C2/x+C3x³-x²/2,
（C1,C2,C3是常数）