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微分方程y”+6y’+9y=xe^-3x通解
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微分方程y”+6y’+9y=xe^-3x通解
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答案和解析
∵齐次方程y"+6y'+9y=0的特征方程是r^2+6r+9=0,则r=-3（二重实根）
∴此齐次方程的通解是y=(C1x+C2)e^(-3x) (C1,C2是常数)
∵设原方程的解为y=(Ax^3+Bx^2)e^(-3x)
代入原方程,化简得 (6Ax+2B)e^(-3x)=xe^(-3x)
==>6A=1,2B=0
==>A=1/6,B=0
∴y=(x^3/6)e^(-3x)是原方程的一个特解
故原方程的通解是y=(C1x+C2)e^(-3x)+(x^3/6)e^(-3x).
∴此齐次方程的通解是y=(C1x+C2)e^(-3x) (C1,C2是常数)
∵设原方程的解为y=(Ax^3+Bx^2)e^(-3x)
代入原方程,化简得 (6Ax+2B)e^(-3x)=xe^(-3x)
==>6A=1,2B=0
==>A=1/6,B=0
∴y=(x^3/6)e^(-3x)是原方程的一个特解
故原方程的通解是y=(C1x+C2)e^(-3x)+(x^3/6)e^(-3x).
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