已知圆C：x2+y2+x-6y+m=0和直线l：x+y-3=0（Ⅰ）当圆C与直线l相切时，求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线l交于P、Q两点，是否存在m，使以PQ为直径的圆经过原点O？

Question

已知圆C：x²+y²+x-6y+m=0和直线l：x+y-3=0
（Ⅰ）当圆C与直线l相切时，求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线l交于P、Q两点，是否存在m，使以PQ为直径的圆经过原点O？

Answer 1

（Ⅰ）∵圆C：x²+y²+x-6y+m=0，
∴圆心C（-(1)/(2)，3），
∵圆C与直线l相切，
∴R＝d＝(|−(1)/(2)+3−3|)/(√(2))＝(1)/(2√(2))，
故所求圆的方程为：(x+(1)/(2))2+(y−3)2＝(1)/(8)
（Ⅱ）假设存在m使以PQ为直径的圆经过原点O，
则设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立

x2+y2+x−6y+m＝0

x+y−3＝0

，
得2x²+x+m-9=0，
∵△=1-8（m-9）＞0，
∴m＜(73)/(8)，（8分）
OP⊥OQ⇔

OP

•

OQ

＝x1x2+y1y2＝x1x2+(3−x1)(3−x2)＝2x1

作业帮用户 2017-09-23 举报