平面上有两点A（-1，0），B（1，0），P为圆x2+y2-6x-8y+21=0上的一点，试求S=|AP|2+|BP|2的最大值与最小值，并求相应的P点坐标．

Question

平面上有两点A（-1，0），B（1，0），P为圆x²+y²-6x-8y+21=0上的一点，试求S=|AP|²+|BP|²的最大值与最小值，并求相应的P点坐标．

Answer 1

把已知圆的一般方程化为标准方程得（x-3）²+（y-4）²=4，设点P的坐标为（x₀，y₀），
则S＝|AP|2+|BP|2＝(x0+1)2+y02+(x0−1)2+y02＝2(x02+y02+1)．…（2分）
∵点P（x₀，y₀）在已知圆上，∴x02+y02-6x₀ +8y₀-21=0，∴S=4（3x₀ +4y₀-10）．
∵（x-3）²+（y-4）²=4，可设x₀=3+2cosθ，y₀ =4+2sinθ．
∴S=4（3x₀ +4y₀-10）=4（6cosθ+8sinθ+15）=40sin（θ+∅）+60，其中，tan∅=(3)/(4)，0＜∅＜(π)/(2)．
∵-1≤sin（θ+∅）≤1，∴20≤S≤100，再由tan∅=(3)/(4)，0＜∅＜(π)/(2)，可得 cos∅=(4)/(5)，sin∅=(3)/(5)．
当S=100时，sin（θ+∅）=1，θ+∅=(π)/(2)，θ=(π)/(2)-∅．
∴sinθ=cos∅=(4)/(5)，cosθ=sin∅=(3)/(5)，∴x₀=3+2cosθ=(21)/(5)，y₀ =4+2sinθ=(28)/(5)．
当 S=20时，sin（θ+∅）=-1，θ+∅=(3π)/(2)，θ=(3π)/(2)-∅．sinθ=-cos∅=-(4)/(5)，cosθ=-sin∅=-(3)/(5)，
∴x₀=3+2cosθ=(9)/(5)   y₀ =4+2sinθ=(12)/(5)．
∴S的最大值是100，这时点P的坐标是((21)/(5)，(28)/(5))，S的最小值是20，这时点P的坐标是（

作业帮用户 2016-11-25 举报