证明以下各式：（1）2a−b−ca2−ab−ac+bc+2b−c−ab2−bc−ab−ac+2c−a−bc2−ca−bc+ab＝0；（2）x，y，z是互不相等的三个实数则：(1x−y)2+(1y−z)2+(1z−x)2＝(1x−y+1y−z+1z−x)2

Question

证明以下各式：
（1）(2a−b−c)/(a2−ab−ac+bc)+(2b−c−a)/(b2−bc−ab−ac)+(2c−a−b)/(c2−ca−bc+ab)＝0；
（2）x，y，z是互不相等的三个实数则：((1)/(x−y))2+((1)/(y−z))2+((1)/(z−x))2＝((1)/(x−y)+(1)/(y−z)+(1)/(z−x))2

Answer 1

证明：
（1）
∵原式等式左边=((a−b)+(a−c))/((a−b)(a−c))+((b−c)+(b−a))/((b−c)(b−a))+((c−a)+(c−b))/((c−a)(c−b))

＝(1)/(a−c)+(1)/(a−b)+(1)/(b−a)+(1)/(b−c)+(1)/(c−b)+(1)/(c−a)

＝0＝右边

所以等式成立
（2）左边-右边=((1)/(x−y)+(1)/(y−z)+(1)/(z−x))2−((1)/(x−y))2−((1)/(y−z))2−((1)/(z−x))2

＝(2)/((x−y)(y−z))+(2)/((y−z)(z−x))+(2)/((x−y)(z−x))

＝2[(1)/(y−z)((1)/(x−y)+(1)/(z−x))+(1)/((x−y)(z−x))]

＝2[−(1)/((x−y)(z−x))+(1)/((x−y)(z−x))]

＝0

所以等式成立