设实数x，y，z满足0<x<y<z<π2，证明：π2+2sinxcosy+2sinycosz>sin2x+sin2y+sin2z．

Question

设实数x，y，z满足0<x<y<z<(π)/(2)，证明：(π)/(2)+2sinxcosy+2sinycosz>sin2x+sin2y+sin2z．

Answer 1

证明：由于sin2x+sin2y+sin2z-2sinxcosy-2sinycosz
=(1)/(2)[（sin2x+sin2y）+（sin2y+sin2z）+（sin2z+sin2x）]-2sinxcosy-2sinycosz
≤sin（x+y）cos（x-y）+sin（y+z）cos（y-z）+sin（z+x）cos（z-x）-2sinxcosycos（x-y）-2sinycoszcos（y-z）
=sin（y-x）cos（x-y）+sin（z-y）cos（y-z）+sin（z+x）cos（z-x）
=(1)/(2)sin（2y-2x）+(1)/(2)sin（2z-2y）+sin（z+x）cos（z-x）
=sin（z-x）cos（2y-x-z）+sin（z+x）cos（z-x）
≤sin（z-x）+cos（z-x）≤√(2)<(π)/(2)
故(π)/(2)+2sinxcosy+2sinycosz>sin2x+sin2y+sin2z．