x、y、z∈R,x2+2y2+3z2=12,求xy+2yz的最大值

Question

x、y、z∈R,x2+2y2+3z2=12,求xy+2yz的最大值

Answer 1

x、y、z∈R,x²+2y²+3z²=12,求xy+2yz的最大值
这是一个条件极值问题,用拉格朗日乘数法求解.
作函数F(x,y,z)=xy+2yz+λ(x²+2y²+3z²-12)
令∂F/∂x=y+2λx=0.(1)
∂F/∂y=x+2z+4λy=0.(2)
∂F/∂z=2y+6λz=0,化简系数得：
y+3λz=0.(3)
x²+2y²+3z²-12=0.(4)
由(1)得λ=-y/2x,由(3)得λ=-y/3z,于是得2x=3z,即z=(2/3)x.(5)
将(5)代入(2)式得(7/3)x+4λy=0.(6)
将(5)代入(3)式得y+2λx=0.(7)
由(6)得λ=-(7x/12y)；由(7)得λ=-y/2x；于是得7x/12y=y/2x,即有7x²=6y²,y²=(7/6)x².(8)
将(5)和(8)代入(4)式得x²+(7/3)x²+(4/3)x²-12=(14/3)x²-12=0,x²=36/14=18/7,故x=±3√(2/7)；
当x²=(18/7)时,y²=3；y=±√3；z=±2√(2/7)；
故可能的极值点有：A(3√(2/7),√3,2√(2/7))；B(3√(2/7),-√3,2√(2/7));
D(-3√(2/7),√3,-2√(2/7))；E(-3√(2/7),-√3,-2√(2/7))；
当x、y同号,且y、z同号时xy+2yz的值最大.
故应取A或E,即(xy+2yz)max=3√(6/7)+4√(6/7)=7√(6/7)=√42；
此时x=3√(2/7),y=√3,z=2√(2/7),满足x²+2y²+3z²=18/7+6+24/7=42/7+6=84/7=12.