设函数f（u）具有二阶连续导数，z=f（excosy）满足∂2z∂x2+∂2z∂y2＝(4z+excosy)e2x．若f（0）=0，f′（0）=0，求f（u）的表达式．

Question

设函数f（u）具有二阶连续导数，z=f（e^xcosy）满足(∂2z)/(∂x2)+(∂2z)/(∂y2)＝(4z+excosy)e2x．若f（0）=0，f′（0）=0，求f（u）的表达式．

Answer 1

设u=e^xcosy，则z=f（u）=f（e^xcosy），
(∂z)/(∂x)＝f’(u)excosy，(∂2z)/(∂x2)＝f’’(u)e2xcos2y+f’(u)excosy
(∂z)/(∂y)＝−f’(u)exsiny，(∂2z)/(∂y2)＝f’’(u)e2xsin2y−f’(u)excosy
所以：
(∂2z)/(∂x2)+(∂2z)/(∂y2)＝f’’(u)e2x＝f’’(excosy)e2x

由条件(∂2z)/(∂x2)+(∂2z)/(∂y2)＝(4z+excosy)e2x，
可知：f’’（u）=4f（u）+u
这是一个二阶常系数线性非齐次方程．
对应齐次方程的通解为：f(u)＝C1e2u+C2e−2u其中C₁，C₂为任意常数．
对应非齐次方程特解可求得为y*＝−(1)/(4)u．
故非齐次方程通解为f(u)＝C1e2u+C2e−2u−(1)/(4)u．
将初始条件f（0）=0，f'（0）=0代入，可得C1＝(1)/(16)，C2＝−(1)/(16)．
故：f（u）的表达式为f(u)＝(1)/(16)e2u−(1)/(16)e−2u−(1)/(4)u．