早教吧作业答案频道 -->数学-->
已知k∈R,函数f(x)=lnx-kx.(Ⅰ)若k>0,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若f(x)有两个相异的零点x1,x2,求证:x1•x2>e2.
题目详情
已知k∈R,函数f(x)=lnx-kx.
(Ⅰ)若k>0,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)有两个相异的零点x1,x2,求证:x1•x2>e2.
(Ⅰ)若k>0,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)有两个相异的零点x1,x2,求证:x1•x2>e2.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)f′(x)=
(x>0)在(0,
)上f'(x)>0,f(x)单调递增,在(
,+∞)上f'(x)<0,f(x)单调递减;
(Ⅱ)证明:设0<x1<x2,f(x1)=f(x2)=0,
lnx1-kx1=lnx2-kx2=0,
要证x1x2>e2即证lnx1+lnx2>2⇔k(x1+x2)>2⇔k>
⇔
>
⇔
>
令
=t,则t>1,
>
⇔lnt>
令g(t)=lnt-
(t>1)
g'(t)=
>0,所以g(t)在(1,+∞)上单调递增,
故g(t)>g(1)=0,即lnt>
成立,∴x1x2>e2成立.
1-kx |
x |
1 |
k |
1 |
k |
(Ⅱ)证明:设0<x1<x2,f(x1)=f(x2)=0,
lnx1-kx1=lnx2-kx2=0,
要证x1x2>e2即证lnx1+lnx2>2⇔k(x1+x2)>2⇔k>
2 |
x1+x2 |
lnx1-lnx2 |
x1-x2 |
2 |
x1-x2 |
x2 |
x1 |
2(x2-x1) |
x1+x2 |
令
x2 |
x1 |
x2 |
x1 |
2(x2-x1) |
x1+x2 |
2(t-1) |
t+1 |
令g(t)=lnt-
2(t-1) |
t+1 |
g'(t)=
(t-1)2 |
t(t+1)2 |
故g(t)>g(1)=0,即lnt>
2(t-1) |
t+1 |
看了已知k∈R,函数f(x)=ln...的网友还看了以下:
已知指数函数y=g(x)满足:g(2)=4,定义域为R上的函数f(x)=−g(x)+ng(x)+m 2020-05-02 …
已知二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,(1)求f(x)(2)利用单调性的定 2020-05-13 …
已知幂函数f(x)=(-2m2+m+2)xm+1为偶函数.(1)求f(x)的解析式;(2)若函数y 2020-06-26 …
已知函数f(x)=log31-x1-mx(m≠1)是奇函数.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2 2020-07-01 …
已知函数(a≥0)为函数f(x)的导函数.(1)若f(x)在x=-3处取到极大值-2,求a,b的值 2020-07-22 …
已知函数f(x),(x∈D),若同时满足以下条件:①f(x)在D上单调递减或单调递增②存在区间[a 2020-07-22 …
已知函数,其中常数.(1)求的单调区间;(2)如果函数在公共定义域D上,满足,那么就称为与的“和谐 2020-07-22 …
对于定义域为R的函数g(x),若函数sin[g(x)]是奇函数,则称g(x)为正弦奇函数.已知f( 2020-07-30 …
已知函数f(x)=12x-1+a是奇函数.(1)求a的值和函数f(x)的定义域;(2)用单调性的定 2020-08-01 …
设单调函数y=p(x)的定义域为D,值域为A,如果单调函数y=q(x)使得函数y=p(q(x))的置 2020-12-31 …