早教吧作业答案频道 -->数学-->
已知k∈R,函数f(x)=lnx-kx.(Ⅰ)若k>0,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若f(x)有两个相异的零点x1,x2,求证:x1•x2>e2.
题目详情
已知k∈R,函数f(x)=lnx-kx.
(Ⅰ)若k>0,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)有两个相异的零点x1,x2,求证:x1•x2>e2.
(Ⅰ)若k>0,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)有两个相异的零点x1,x2,求证:x1•x2>e2.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)f′(x)=
(x>0)在(0,
)上f'(x)>0,f(x)单调递增,在(
,+∞)上f'(x)<0,f(x)单调递减;
(Ⅱ)证明:设0<x1<x2,f(x1)=f(x2)=0,
lnx1-kx1=lnx2-kx2=0,
要证x1x2>e2即证lnx1+lnx2>2⇔k(x1+x2)>2⇔k>
⇔
>
⇔
>
令
=t,则t>1,
>
⇔lnt>
令g(t)=lnt-
(t>1)
g'(t)=
>0,所以g(t)在(1,+∞)上单调递增,
故g(t)>g(1)=0,即lnt>
成立,∴x1x2>e2成立.
1-kx |
x |
1 |
k |
1 |
k |
(Ⅱ)证明:设0<x1<x2,f(x1)=f(x2)=0,
lnx1-kx1=lnx2-kx2=0,
要证x1x2>e2即证lnx1+lnx2>2⇔k(x1+x2)>2⇔k>
2 |
x1+x2 |
lnx1-lnx2 |
x1-x2 |
2 |
x1-x2 |
x2 |
x1 |
2(x2-x1) |
x1+x2 |
令
x2 |
x1 |
x2 |
x1 |
2(x2-x1) |
x1+x2 |
2(t-1) |
t+1 |
令g(t)=lnt-
2(t-1) |
t+1 |
g'(t)=
(t-1)2 |
t(t+1)2 |
故g(t)>g(1)=0,即lnt>
2(t-1) |
t+1 |
看了已知k∈R,函数f(x)=ln...的网友还看了以下:
函数的零点问题设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,f'(x)是f(x)的导函数, 2020-04-12 …
有大于零的极值点什么意思我想问的是“由于函数y=eˆx+ax,x∈R有大于零的极值点,故y'=e^ 2020-05-13 …
有大于零的极值点是什么意思“由于函数y=eˆx+ax,x∈R有大于零的极值点,故y'=e^x+a有 2020-05-23 …
已知f(x)=3xx≥0f(x)=㏒3(-x)x<0函数:g(x)=f2(x)+f(x)+t,关于 2020-06-13 …
使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点.例如,对于函数y=x-1,令y=0,可得x=1,我们就说 2020-06-17 …
已知函数f(x)=x(x-2x) 若f(x)+2大于等于0在零到正无穷上恒成立,求a的取值范围已知 2020-06-27 …
下列说法正确的有:①对于函数f(x)=x2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0,则函数f(x) 2020-07-16 …
使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。例如,对于函y=x-1数,令y=0,可得x=1,我们就说 2020-08-01 …
已知函数f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x},x>0 2020-12-08 …
函数的二阶导数连续,且lim[f(x)-a]/x平方=0(x趋向于0)这些条件能推出f'(0)为零么 2021-02-13 …