已知（a+1）x-1-lnx≤0对于任意x∈[12，2]恒成立，则a的最大值为．

Question

已知（a+1）x-1-lnx≤0对于任意x∈[ (1)/(2)，2]恒成立，则a的最大值为___．

Answer 1

（a+1）x-1-lnx≤0对于任意x∈[(1)/(2)，2]恒成立
⇔a≤(1+lnx)/(x)-1对于任意x∈[(1)/(2)，2]恒成立
⇔a≤（ (1+lnx)/(x)-1）min对于任意x∈[(1)/(2)，2]恒成立
设f（x）=(1+lnx)/(x)-1，x∈[(1)/(2)，2]，则f′（x）=(-lnx)/(x2)，
令f′（x）>0，解得：(1)/(2)≤x<1，令f′（x）>0，解得：1<x≤2，
∴f（x）在[(1)/(2)，1）递增，在（1，2]递减，
∴f（(1)/(2)）或f（2）最小，
而f（(1)/(2)）=1-2ln2，f（2）=(1)/(2)ln2-(1)/(2)，
∴f（(1)/(2)）<f（2），
∴a的最大值是1-2ln2，
故答案为：1-2ln2．