(8分)设(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0.求：(1)a8＋a7＋…＋a1；(2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0.

Question

(8分)设(3 x －1) ⁸ ＝ a ₈ x ⁸ ＋ a ₇ x ⁷ ＋…＋ a ₁ x ＋ a ₀ .求：
(1) a ₈ ＋ a ₇ ＋…＋ a ₁ ；
(2) a ₈ ＋ a ₆ ＋ a ₄ ＋ a ₂ ＋ a ₀ .

Answer 1

32 896.

对于二项式展开式的系数求和问题，通常采用赋值法求解，一般赋给字母的值为0，-1，1等。
令 x ＝0，得 a ₀ ＝1.
(1)令 x ＝1得(3－1) ⁸ ＝ a ₈ ＋ a ₇ ＋…＋ a ₁ ＋ a ₀ ，①
∴ a ₈ ＋ a ₇ ＋…＋ a ₂ ＋ a ₁ ＝2 ⁸ － a ₀ ＝256－1＝255.
(2)令 x ＝－1得(－3－1) ⁸ ＝ a ₈ － a ₇ ＋ a ₆ －…－ a ₁ ＋ a ₀ .②
①＋②得2 ⁸ ＋4 ⁸ ＝2( a ₈ ＋ a ₆ ＋ a ₄ ＋ a ₂ ＋ a ₀ )，
∴ a ₈ ＋ a ₆ ＋ a ₄ ＋ a ₂ ＋ a ₀ ＝ (2 ⁸ ＋4 ⁸ )＝32 896.