在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，O1：（x-4）2+y2=4，动点P在直线x+3y+b=0上，过P分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P有且只有两个

Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x²+y²=1，O₁：（x-4）²+y²=4，动点P在直线x+ √(3)y+b=0上，过P分别作圆O，O₁的切线，切点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是___．

Answer 1

由题意O（0，0），O₁（4，0），设P（x，y），则
∵PB=2PA，
∴（x-4）²+y²=4（x²+y²），
∴x²+y²+(8)/(3)x-(16)/(3)=0，
其圆心坐标为（-(4)/(3)，0），半径为(8)/(3)；
∵动点P在直线x+√(3)y+b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，
∴该直线与圆x²+y²+(8)/(3)x-(16)/(3)=0相交，
∴圆心到直线的距离满足d=(|-(4)/(3)+0+b|)/(√(12+(√(3))2))<(8)/(3)，
化简得|b-(4)/(3)|<(16)/(3)，
解得-4<b<(20)/(3)，
∴实数b的取值范围是（-4，(20)/(3)）．
故答案为：（-4，(20)/(3)）．