如图，已知抛物线y2=4x，过点P（2，0）作斜率分别为k1，k2的两条直线，与抛物线相交于点A、B和C、D，且M、N分别是AB、CD的中点（1）若k1+k2=0，AP=2PB，求线段MN的长；（2）若k1•k2=-1，求△PMN

Question

如图，已知抛物线y²=4x，过点P（2，0）作斜率分别为k₁，k₂的两条直线，与抛物线相交于点A、B和C、D，且M、N分别是AB、CD的中点

（1）若k₁+k₂=0，

AP

=2

PB

，求线段MN的长；
（2）若k₁•k₂=-1，求△PMN面积的最小值．

Answer 1

（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨设y₁>0，则
设直线AB的方程为y=k₁（x-2），代入y²=4x，可得y²-(4)/(k1)y-8=0
∴y₁+y₂=(4)/(k1)，y₁y₂=-8，
∵

AP

=2

PB

，∴y₁=-2y₂，∴y₁=4，y₂=-2，
∴y_M=1，
∵k₁+k₂=0，
∴线段AB和CD关于x轴对称，
∴线段MN的长为2；
（2）∵k₁•k₂=-1，∴两直线互相垂直，
设AB：x=my+2，则CD：x=-(1)/(m)y+2，
x=my+2代入y²=4x，得y²-4my-8=0，
则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8，
∴M（2m²+2，2m）．
同理N（(2)/(m2)+2，-(2)/(m)），
∴|PM|=2|m|•√(m2+1)，|PN|=(2)/(m2)•√(m2+1)，|
∴S_△PMN=(1)/(2)|PM||PN|=(1)/(|m|)（m²+1）=2（|m|+(1)/(|m|)）≥4，
当且仅当m=±1时取等号，
∴△PMN面积的最小值为4．