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求微分方程（3x2+6xy2）dx+（6x2y+4y3）dy=0的通解．
题目详情
求微分方程（3x2+6xy2）dx+（6x2y+4y3）dy=0的通解．
▼优质解答
答案和解析
由题意，设P（x，y）=3x2+6xy2，Q（x，y）=6x2y+4y3，
则P′y=12xy=Q′x
∴Pdx+Qdy是某个函数的全微分，设du=Pdx+Qdy
则u(x，y)＝
Pdx+Qdy=
P(x，0)dx+
Q(x，y)dy
=
3x2dx+
(6x2y+4y3)dy
=x3+3x2y2+y4
∴x3+3x2y2+y4=C（C为任意常数）是微分方程的通解．
则P′y=12xy=Q′x
∴Pdx+Qdy是某个函数的全微分，设du=Pdx+Qdy
则u(x，y)＝
| ∫ | (x，y) (0，0) |
| ∫ | x 0 |
| ∫ | y 0 |
=
| ∫ | x 0 |
| ∫ | y 0 |
=x3+3x2y2+y4
∴x3+3x2y2+y4=C（C为任意常数）是微分方程的通解．
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