化简：（1）x3+xy2+1x3+xy−x2y−y3•x2y−xy2x3+xy2−x2y−y3+x2y+xy2x3+x2y+xy2+y3•x2y+y3+1x2y+y3−x3−xy2+x3+y3x3+x2y+xy2+y3（2）1x(x+a)+1(x+a)(x+2a)+1(x+2a)(x+3a)+1(x+3a)(x+4a)（3）(b2−bc+c2a+a2b+c−31b+1c)×2b+2c1bc+1ca+1ab+(a+b

Question

化简：
（1）(x3+xy2+1)/(x3+xy−x2y−y3)•(x2y−xy2)/(x3+xy2−x2y−y3)+(x2y+xy2)/(x3+x2y+xy2+y3)•(x2y+y3+1)/(x2y+y3−x3−xy2)+(x3+y3)/(x3+x2y+xy2+y3)
（2）(1)/(x(x+a))+(1)/((x+a)(x+2a))+(1)/((x+2a)(x+3a))+(1)/((x+3a)(x+4a))
（3）((b2−bc+c2)/(a)+(a2)/(b+c)−(3)/((1)/(b)+(1)/(c)))×((2)/(b)+(2)/(c))/((1)/(bc)+(1)/(ca)+(1)/(ab))+(a+b+c)2
（4）(1)/((x−1)(x−2))+(1)/((x−2)(x−3))+…+(1)/((x−n)(x−n−1))．

Answer 1

（1）
原式=(x3+xy2+1)/(x2(x−y)+y2(x−y))•(xy(x−y))/(x2(x−y)+y2(x−y))

+(xy(x+y))/(x2(x+y)+y2(x+y))•(x2y+y3+1)/(y2(y−x)+x2(y−x))

+((x+y)(x2−xy+y2))/(x2(x+y)+y(x+y))

＝(xy(x3+xy2+1))/((x2+y2)(x−y)(x2+y2))+(xy(x2y+y3+1))/((x2+y2)(x2+y2)(y−x))+(x2−xy+y2)/(x2+y2)

＝(xy[x2(x−y)+y2(x−y)])/((x−y)(x2+y2)2)+(x2−xy+y2)/(x2+y2)

＝(x2+y2)/(x2+y2)

＝1

（2）∵(a)/(x(x+a))＝(1)/(x)−(1)/(x+a)，

作业帮用户 2017-10-24 举报

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问题解析

（1）先对分子、分母进行因式分解，再约分，最后通分，实现化简．
（2）观察发现

(a)/(x(x+a))＝(1)/(x)−(1)/(x+a)，

(a)/((x+a)(x+2a))＝(1)/(x+a)−(1)/(x+2a)，

(a)/((x+2a)(x+3a))＝(1)/(x+a)−(1)/(x+2a)，

(a)/((x+3a)(x+4a))＝(1)/(x+3a)−(1)/(x+4a)，

因而将原式转化为(1)/(a)((1)/(x)−(1)/(x+a))+(1)/(a)((1)/(x+a)−(1)/(x+2a))+(1)/(a)((1)/(x+2a)−(1)/(x+3a))+(1)/(a)((1)/(x+3a)−(1)/(x+4a))，再通过提取公因式，求解；
（3）首先将−(3)/((1)/(b)+(1)/(c))转化为−(bc)/(b+c)再与(a2)/(b+c)通分，将((2)/(b)+(2)/(c))/((1)/(bc)+(1)/(ca)+(1)/(ab))转化为

(2(b+c)a)/(a+b+c)

，再利用乘法的分配律，进一步通过通分，最终达到目的；
（4）观察发现(1)/((x−1)(x−2))＝(1)/(x−2)−(1)/(x−1)，(1)/((x−2)(x−3))＝(1)/(x−3)−(1)/(x−2)…(1)/((x−n)[x−(n+1)])＝(1)/(x−(n+1))−(1)/(x−n)(1)/((x−2)(x−3))＝(1)/(x−3)−(1)/(x−2)，…，(1)/((x−n)[x−(n+1)])＝(1)/(x−(n+1))−(1)/(x−n)
将这些式子代入原式．加减抵消相同项，最终得到结果．

名师点评

本题考点：

分式的混合运算．

考点点评：

本题考查分式的混合运算，关键是通分，合并同类项，注意混合运算的运算顺序．同学们特别注意（2）中的(a)/(x(x+a))＝(1)/(x)−(1)/(x+a)，

(a)/((x+a)(x+2a))＝(1)/(x+a)−(1)/(x+2a)，

(a)/((x+2a)(x+3a))＝(1)/(x+a)−(1)/(x+2a)，

(a)/((x+3a)(x+4a))＝(1)/(x+3a)−(1)/(x+4a)，

（4）中(1)/((x−1)(x−2))＝(1)/(x−2)−(1)/(x−1)，(1)/((x−2)(x−3))＝(1)/(x−3)−(1)/(x−2)…(1)/((x−n)[x−(n+1)])＝(1)/(x−(n+1))−(1)/(x−n)(1)/((x−2)(x−3))＝(1)/(x−3)−(1)/(x−2)，…，(1)/((x−n)[x−(n+1)])＝(1)/(x−(n+1))−(1)/(x−n)
有效转化．

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