设a1,a2...,as为n维列向量,A为M*N矩阵,下面一定成立的是a、若Aa1,Aa2,.Aas线性无关,则a1,a2...as线性无关；b\若Aa1,Aa2,.Aas线性无关,则a1,a2...as线性相关；c、若Aa1,Aa2,.Aas线性相关,则a1,a2...as线性相关；

Question

设a1,a2...,as为n维列向量,A为M*N矩阵,下面一定成立的是
a、若Aa1,Aa2,.Aas线性无关,则a1,a2...as线性无关；
b\若Aa1,Aa2,.Aas线性无关,则a1,a2...as线性相关；
c、若Aa1,Aa2,.Aas线性相关,则a1,a2...as线性相关；

Answer 1

选A,可以从两个角度考虑.利用向量组的秩的知识,Aa1,Aas线性无关意味着r(Aa1,Aas)=s,而根据r(AB)≤min{r(A),r(B)},由(Aa1,Aas)=A(a1,as)可知r(a1,as)≥r(Aa1,Aas)=s,而又有r(a1,as)≤s,故r(a1,as)=s,从而向量组(a1,as)线性无关.
还可以从线性变换的角度考虑,用矩阵左乘一个向量相当于对这个向量进行了一个线性变换,而线性相关的向量组经过线性变换后得到的新向量组仍线性相关（线性无关的向量组经过线性变换后不一定线性无关,例如零变换）,其逆否命题为经过线性变换得到新向量组线性无关,则原向量组也线性无关,因此选A.