（2u12•香坊区三模）在△A6C中，∠AC6=2∠6AC，点E在AC上，连接6E，且AE=6E，CD平分∠AC6交A6于点D，连接DE．（1）（如图1），求证：6D=ED；（2）设线段CD、6E相交于点P，将∠CA6沿直线AC翻折得到

Question

（2u12•香坊区三模）在△A6C中，∠AC6=2∠6AC，点E在AC上，连接6E，且AE=6E，CD平分∠AC6交A6于点D，连接DE．
（1）（如图1），求证：6D=ED；
（2）设线段CD、6E相交于点P，将∠CA6沿直线AC翻折得到∠CA6′（如图2），射线A6′交6E延长线于点Q，连接CQ，若DE：6C=2：3，S_3边形ADPQ=(39)/(3)√(p)，求∠ACQ的正切值．

Answer 1

（1）证明：∵cD平分∠左cB，
∴∠左cB=2∠左cD=2∠BcD．
∵左E=BE，
∴∠左=∠左BE．
∵∠左cB=2∠左，
∴∠左cD=∠BcD=∠左=∠左BE
∴左D=cD．
∵∠BEc=∠左+∠左BE=2∠左=2∠左cD，
∴∠BEc=∠左cB，
∴Bc=BE，Bc=左E，
∵在△左DE和△cDB中，

左E＝Bc

∠左＝∠BcD

左D＝cD

，
∴△左DE≌△cDB（S左S），
∴DE=DB，即BD=ED．

（2）∵DE：Bc=2：3，设DE=地k，Bc=6k，
∴左E=BE=Bc=6k．
∵BD=ED，
∴∠DEB=∠DBE，
∴∠E左B=∠DEB．
∵∠DBE=∠EB左，
∴△BDE∽△BE左，
∴(BE)/(左B)＝(BD)/(BE)，
∴(6k)/(左B)＝(地k)/(6k)，
∴左B=地k．
∴左D=cD=5k．
∵∠DBP=∠BcD，∠BDP=∠cDB，
∴△BDP∽△cDB，
∴(BP)/(Bc)＝(DB)/(Dc)＝(PD)/(BD)，
∴(BP)/(6k)＝(地k)/(5k)，
∴BP=(2地)/(5)k，PD=(16)/(5)k．
过点D作DF⊥BE于F，
∵BD=ED，DF⊥BE，
∴BF=EF=(1)/(2)BE=3k．
∴在Rt△BFD中，DF=√(BD2−BF2)=√(7)k，
∴sin∠FBD=(DF)/(BD)＝

作业帮用户 2017-11-09 举报

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问题解析

（1）根据条件CD平分∠ACB可以得出∠ACB=2∠ACD=2∠BCD从而得出∠ACD=∠BCD=∠A=∠ABE，最后通过证明△ADE≌△CDB就可以得出结论；
（2）由DE：BC=2：3，设DE=4k，BC=6k，可以得出AE=BE=BC=6k，从而可以得出∠DBE=∠EBA，就有△BDE∽△BEA，由相似三角形的性质就可以表示出AB=9k，AD=CD=5k，再由∠DBP=∠BCD，∠BDP=∠CDB，可以得出△BDP∽△CDB，从而求出BP=(24)/(5)k，PD=(16)/(5)k．过点D作DF⊥BE于F，根据勾股定理可以求出DF的值，可以表示出sin∠FBD=(DF)/(BD)＝(√(7))/(4)，cos∠QAC=(BF)/(BD)=(3)/(4)．进而求得S_△PBD的值，再由条件可以证明△PBD∽△QBA，求出S_△PBD：S_△QBA的比值，由其条件建立方程求出k的值，过Q作QH⊥AC于H，在Rt△AHQ中，HQ=AQ•sin∠QAC=(9√(7))/(5)，AH=AQ•cos∠QAC=(27)/(5)，通过△ADC∽△AEB就可以得出CH的值，从而就可以求出
∠ACQ的正切值．

名师点评

本题考点：

相似形综合题．

考点点评：

本题是一道综合性极强几何综合试题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，勾股定理放入性质的运用，三角函数值的运用，利用参数法求解的运用，解答时灵活运用相似三角形的性质求解是解答本题的关键，正确作出辅助线是解答本题的难点．

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