在等比数列中,已知a1a2a3……a10=32,设x=a1+a2+a3……+a10,y=a1/1a2/1+a3/1+……+a10/1,求y/x

Question

在等比数列中,已知a1a2a3……a10=32,设x=a1+a2+a3……+a10,y=a1/1
a2/1+a3/1+……+a10/1,求y/x

Answer 1

首先说一下,你y的表达式中分子分母写反了,应该是1/a1+1/a2+1/a3+...+1/a10
设等比数列为{an},公比为q
a2/a1=a3/a2=...=a10/a9=q
(1/a2)/(1/a1)=(1/a3)/(1/a2)=...=(1/a10)/(1/a9)=1/q
即数列{1/an}同样为等比数列,首项为1/a1,公比为1/q
a1a2a3...a10=a1·a1q·a1q^2·...·a1q^9
=a1^10·q^(1+2+...+9)
=a1^10·q^45
=(a1^2·q^9)^5
=32
a1^2·q^9=2
y/x=(1/a1)(1-1/q^10)/(1-1/q)/[a1(1-q^10)/(1-q)]
=(1/a1^2)·q^11·(1-1/q^10)(1-q)/[q^11·(1-q^10)·(1-1/q)]
=(1/a1^2)·(q^10-1)·q·(1-q)/[q^10·(1-q^10)(q-1)]
=1/(a1^2·q^9)
=1/2