如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在棱CC1的延长线上，且CC1＝C1E＝BC＝12AB＝1．（I）求证：D1E∥平面ACB1；（II）求证平面D1B1E⊥平面DCB1；（III）求平面ACB1与平面D1B1E所成（锐）二面角的余弦值

Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CC₁的延长线上，且CC1＝C1E＝BC＝(1)/(2)AB＝1．
（I）求证：D₁E∥平面ACB₁；
（II）求证平面D₁B₁E⊥平面DCB₁；
（III）求平面ACB₁与平面D₁B₁E所成（锐）二面角的余弦值．

Answer 1

（I）证明：连接DC₁，因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，且CC₁=C₁E，
所以DD₁∥C₁E且DD₁=C₁E，DD₁EC₁是平行四边形，DC₁∥D₁E．
又因为AD∥B₁C₁且AD=B₁C₁，ADC₁B₁是平行四边形，DC₁∥AB₁，
所以D₁E∥AB₁．
因为AB₁⊂平面ACB₁，D₁E⊄平面ACB₁，
所以D₁E∥平面ACB₁．
（II）证明：连接AD₁、DA₁，则平面DCB₁即平面A₁B₁CD，由①D₁E∥AB₁，知平面D₁B₁E即平面AD₁EB₁．
因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，CD⊥平面ADD₁A₁，
所以CD⊥AD₁．矩形ADD₁A₁中，AD=DD₁，
所以A₁D⊥AD₁，又A₁D∩CD=D，
所以AD₁⊥平面A₁B₁CD，AD₁⊂平面AD₁EB₁，
所以平面AD₁EB₁⊥平面A₁B₁CD．
（Ⅲ）以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，

则A （1，0，0）C （0，2，0）B₁ （1，2，1），

AC

=（-1，2，0）

AB1

=（0，2，1）
设面ACB₁的一个法向量是

n1

=（x₁，y₁，z₁），则√(AC•n1＝0作业帮用户2017-11-04举报举报该用户的提问举报类型（必填）色情低俗辱骂攻击侮辱英烈垃圾广告不良流行文化骗取采纳其他举报理由（必填）0/100提交问题解析（I）连接DC1，欲证D1E∥平面ACB1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证D1E与平面平面ACB1内一直线平行，而D1E∥AB1，AB1⊂平面ACB1，D1E⊄平面ACB1，满足定理条件；（II）连接AD1、DA1，欲证平面AD1EB1⊥平面A1B1CD，根据面面垂直的判定定理可知在平面AD1EB1内一直线与平面A1B1CD垂直，而根据题意可得AD1⊥平面A1B1CD，AD1⊂平面AD1EB1，满足定理条件．（Ⅲ）以D为坐标原点，建立坐标系，分别求出面ACB1，面D1B1E的一个法向量，利用两法向量夹角间接计算平面ACB1与平面D1B1E所成（锐）二面角的余弦值．名师点评本题考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．考点点评：本小题主要考查空间线面关系、面面位置关系，二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)