（2014•浙江）如图，设椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线l1与

Question

（2014•浙江）如图，设椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．
（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；
（Ⅱ）若过原点O的直线l₁与l垂直，证明：点P到直线l₁的距离的最大值为a-b．

Answer 1

（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由

y＝kx+m

(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1

，消去y得
（b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0．
由于直线l与椭圆C只有一个公共点P，故△=0，即b²-m²+a²k²=0，解得点P的坐标为
（-(a2km)/(b2+a2k2)，(b2m)/(b2+a2k2)），
又点P在第一象限，故点P的坐标为P（(−a2k)/(√(b2+a2k2))，(b2)/(√(b2+a2k2))）．
（Ⅱ）由于直线l₁过原点O且与直线l垂直，故直线l₁的方程为x+ky=0，所以点P到直线l₁的距离
d=

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作业帮用户 2017-10-28 举报

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问题解析

（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由

y＝kx+m

(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1

，消去y得（b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0，利用△=0，可求得在第一象限中点P的坐标；
（Ⅱ）由于直线l₁过原点O且与直线l垂直，设直线l₁的方程为x+ky=0，利用点到直线间的距离公式，可求得点P到直线l₁的距离d=(|(−a2k)/(√(b2+a2k2))+(b2k)/(√(b2+a2k2))|)/(√(1+k2))，整理即可证得点P到直线l₁的距离的最大值为a-b．．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线间的距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力．

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