一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是

Question

一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B₁在y轴上，顶点C₁、E₁、E₂、C₂、E₃、E₄、C₃…在x轴上，已知正方形A₁B₁C₁D₁的边长为1，∠B₁C₁O=60°，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃…则正方形A₂₀₁₆B₂₀₁₆C₂₀₁₆D₂₀₁₆的边长是（　　）

A. （

(1)/(2)）²⁰¹⁵

B. （

(1)/(2)）²⁰¹⁶

C. （

(√(3))/(3)）²⁰¹⁶

D. （

(√(3))/(3)）²⁰¹⁵

Answer 1

∵正方形A₁B₁C₁D₁的边长为1，∠B₁C₁O=60°，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃，
∴D₁E₁=B₂E₂，D₂E₃=B₃E₄，∠D₁C₁E₁=∠C₂B₂E₂=∠C₃B₃E₄=30°，
∴D₁E₁=C₁D₁sin30°=(1)/(2)，
则B₂C₂=(B2E2)/(cos30°)=(√(3))/(3)=（(√(3))/(3)）¹，
同理可得：B₃C₃=(1)/(3)=（(√(3))/(3)）²，
故正方形A_nB_nC_nD_n的边长是：（(√(3))/(3)）^n-1，
则正方形A₂₀₁₆B₂₀₁₆C₂₀₁₆D₂₀₁₆的边长为：（(√(3))/(3)）²⁰¹⁵，
故选：D．