1、(a,b)表示两自然数a、b的最大公约数．设(a,b)=1,则(a2+b2,a3+b3)为,

Question

1、(a,b)表示两自然数a、b的最大公约数．设(a,b)=1,则(a²+b²,a³+b³)为,

Answer 1

是求（a²+b²和a³+b³）吧
只能1或2,具体和a,b值有关,如a,b均是奇数,那么a²+b²和a³+b³均是偶数,那么2是他们的公因子.如a,b一个奇数一个偶数且互素,那么就是1
一、先证明不可能有奇素数是（a²+b²和a³+b³）是因子
反证,设奇素数p 是a²+b²和a³+b³的公因子,那么
p|a²+b² p|a³+b³ | 代表整除
a³+b³=(a+b)(a²+b²)-ab(a+b)
那么p|ab(a+b) 那么p|a或p|b或p|(a+b)
若p|a ,那么由b²=（a²+b²）-a²,所以p|b²,进而p|b ,所以p|（a,b）
与（a,b）=1矛盾
若p|b,类似可已可以推出p|（a,b）,与（a,b）=1矛盾
若p|（a+b）且p不整除a,p不整除b,由2ab=（a+b）²-（a²+b²）,所以p|2ab,只能是p|2
所以p=2,与p为奇素数矛盾.
二、证明4不可能是（a²+b²和a³+b³）是因子
（a,b）=1,所以a,b不可能同为偶数,即a,b要么一奇一偶,要么都是偶数
①a,b一奇一偶,那么a²+b²是奇数,不可能是4的倍数
②a,b两个奇数,设a=2r+1,b=2s+1 ,那么a²+b²=4（r²+r+s²+s）+2 ,也不可能是4的倍数