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例1.a、b、c≥0,求证a3+b3+c3≥3abc.
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例1.a、b、c≥0,求证a3+b3+c3≥3abc.
▼优质解答
答案和解析
证明:∵a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)ab (当且仅当a=b时“=”成立)
b3+c3=(b+c)(b2+c2-bc)≥(b+c)bc (当且仅当b=c时“=”成立)
c3+a3=(a+c)(c2+a2-ca)≥(c+a)ca (当且仅当c=a时“=”成立)
∴2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2
=b(a2+c2)+a(b2+c2)+c(a2+b2)
≥2abc+2abc+2abc=6abc.(当且仅当a=b=c时“=”成立)
∴a3+b3+c3≥3abc.
b3+c3=(b+c)(b2+c2-bc)≥(b+c)bc (当且仅当b=c时“=”成立)
c3+a3=(a+c)(c2+a2-ca)≥(c+a)ca (当且仅当c=a时“=”成立)
∴2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2
=b(a2+c2)+a(b2+c2)+c(a2+b2)
≥2abc+2abc+2abc=6abc.(当且仅当a=b=c时“=”成立)
∴a3+b3+c3≥3abc.
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