如图，△ABC1中，∠BAC1=30°，∠AC1B=90°，BC1=a，以AC1为斜边作Rt△AC1C2，使∠C1AC2=30°，再以AC2为斜边作Rt△AC2C3，使∠C2AC3=30°，再以AC3为斜边作Rt△AC3C4，使∠C3AC4=30°，如此下去，得到的△ACnCn+1

Question

如图，△ABC₁中，∠BAC₁=30°，∠AC₁B=90°，BC₁=a，以AC₁为斜边作Rt△AC₁C₂，使∠C₁AC₂=30°，再以AC₂为斜边作Rt△AC₂C₃，使∠C₂AC₃=30°，再以AC₃为斜边作Rt△AC₃C₄，使∠C₃AC₄=30°，如此下去，得到的△AC_nC_n+1的面积为

(3n)/(22n+1)√(3)a²

(3n)/(22n+1)√(3)a²

．

Answer 1

在△ABC₁中，
AC₁=√((2a)2−a2)=√(3)a，
S_△ABC1=(√(3))/(2)a²；
在Rt△AC₁C₂中，
CC₁=(√(3))/(2)a，AC₂=√((√(3)a)2−((√(3))/(2)a)2)=(3)/(2)a，
S_△AC1C2=(3)/(22+1)√(3)a2；
在Rt△AC₂C₃中，
出C₂C₃=(3)/(4)a，AC₃=√(((3)/(2)a)2−((3)/(4)a)2)=(3)/(4)√(3)a²，
S_△AC2C3=(32)/(22×2+1)√(3)a²；
…
∴△AC_nC_n+1的面积为(3n)/(22n+1)√(3)a²．
故答案为：(3n)/(22n+1)√(3)a²．