已知数列{cn}满足c1=1，cn+1=nn+1cn，则数列c5=，通项cn=；若bn=2cncn+1，则数列{bn}的前50项和为．

Question

已知数列{c_n}满足c₁=1，c_n+1=(n)/(n+1)c_n，则数列c₅=___，通项c_n=___；若b_n=2c_nc_n+1，则数列{b_n}的前50项和为___．

Answer 1

∵c₁=1，c_n+1=(n)/(n+1)c_n，
∴(cn+1)/(cn)=(n)/(n+1)，c2=(1)/(2)．
∴当n≥2时，c_n=(cn)/(cn-1)×(cn-1)/(cn-2)×…×(c3)/(c2)×c₂
=(n-1)/(n)×(n-2)/(n-1)×…×(2)/(3)×(1)/(2)
=(1)/(n)．
当n=1时，上式也成立．
∴cn=(1)/(n)．
∴c₅=(1)/(5)，c_n=(1)/(n)．
∴b_n=2c_nc_n+1=(2)/(n(n+1))=2((1)/(n)-(1)/(n+1))．
∴数列{b_n}的前50项和=2[(1-(1)/(2))+((1)/(2)-(1)/(3))+…+((1)/(50)-(1)/(51))]
=2(1-(1)/(51))
=(100)/(51)．
故答案分别为：(1)/(5)；(1)/(n)；(100)/(51)．