己知0<a1<1，数列{an}满足：an+1=an-1+nn+an，n∈N+，则满足ai+aj（i<j，i，j∈N+）为整数的正整数组对（i，j）（）A.至多一对B.至多2对C.有无穷对D.不存在

Question

己知0<a₁<1，数列{a_n}满足：a_n+1=a_n-1+

(n)/(n+an)，n∈N⁺，则满足a_i+a_j（i<j，i，j∈N⁺）为整数的正整数组对（i，j）（　　）

A. 至多一对

B. 至多2对

C. 有无穷对

D. 不存在

Answer 1

a_n+1=a_n-1+(n)/(n+an)=an(1-(1)/(an+n))，n∈N⁺，
∵0<a₁<1，∴a_n>0，都为正．
又a_n+1-a_n=-(an)/(an+1)<0，∴数列{a_n}单调递减，
而a2=a1(1-(1)/(a1+1))=a1•(a1)/(a1+1)<(1)/(2)a1<(1)/(2)，因此0<an<(1)/(2)对n≥2时恒成立．
∴当i，j≥2时，不存在a_i+a_j（i<j，i，j∈N⁺）为整数．
只有可能a₁+a_j=1．
故选：A．