（2014•安徽模拟）如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F=2BF．（1）求证：EF⊥A1C1；（2）在棱C1C上确定一点G，使A、E、G、F四点共面，并求此时C1G

Question

（2014•安徽模拟）如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱D₁D的中点，点F在棱B₁B上，且满足B₁F=2BF．
（1）求证：EF⊥A₁C₁；
（2）在棱C₁C上确定一点G，使A、E、G、F四点共面，并求此时C₁G的长；
（3）求几何体ABFED的体积．

Answer 1

（1）证明：连结B₁D₁，BD，∵四边形A₁B₁C₁D₁是正方形，∴B₁D₁⊥A₁C₁．
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁⊂平面A₁B₁C₁D₁，∴A₁C₁⊥DD₁．
∵B₁D₁∩DD₁=D₁，B₁D₁，DD₁⊂平面BB₁D₁D，∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．
∵EF⊂平面BB₁D₁D，∴EF⊥A₁C₁．
（2）以点D为坐标原点，以DA，DC，DD₁所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系，
则A（a，0，0），A₁（a，0，a），C₁（0，a，a），E（0，0，(1)/(2)a），F（a，a，(1)/(3)a），
∴

A1C1

=（-a，a，0），

EF

=（-a，a，0），

EF

=（a，a，-(1)/(6)a）．
设G（0，a，h），
∵平面ADD₁A₁∥平面BCC₁B₁，平面ADD₁A₁∩平面AEGF=AE，
平面BCC₁B₁∩平面AEGF=FG，
∴存在实数λ，使得

FG

＝λ

AE

．
∵

AE

=（-a，0，(1)/(2)

作业帮用户 2017-11-03 举报