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如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1∩B1D1=O1,B1D∩平面A1BC1=P,求证:B、P、O1三点共线.
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如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1∩B1D1=O1,B1D∩平面A1BC1=P,求证:B、P、O1三点共线.
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▼优质解答
答案和解析
证明:在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,
∵B1D∩平面A1BC1=P,∴P∈平面A1BC1,P∈B1D.
∵B1D⊂平面BB1D1D.∴P∈平面A1BC1,且P∈平面BB1D1D.
∴P∈平面A1BC1∩平面BB1D1D,
∵A1C1∩B1D1=O1,A1C1⊂平面A1BC1,B1D1⊂平面BB1D1D,
∴O1∈平面A1BC1,且O1∈平面BB1D1D.
又B∈平面A1BC1,且B∈平面BB1D1D,
∴平面A1BC1∩平面BB1D1D=BO1.
∴P∈BO1
B、P、O1三点共线.
∵B1D∩平面A1BC1=P,∴P∈平面A1BC1,P∈B1D.
∵B1D⊂平面BB1D1D.∴P∈平面A1BC1,且P∈平面BB1D1D.
∴P∈平面A1BC1∩平面BB1D1D,
∵A1C1∩B1D1=O1,A1C1⊂平面A1BC1,B1D1⊂平面BB1D1D,
∴O1∈平面A1BC1,且O1∈平面BB1D1D.
又B∈平面A1BC1,且B∈平面BB1D1D,
∴平面A1BC1∩平面BB1D1D=BO1.
∴P∈BO1
B、P、O1三点共线.
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