如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1∩B1D1=O1，B1D∩平面A1BC1=P，求证：B、P、O1三点共线．

Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，B₁D∩平面A₁BC₁=P，求证：B、P、O₁三点共线．

Answer 1

证明：在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵B₁D∩平面A₁BC₁=P，∴P∈平面A₁BC₁，P∈B₁D．
∵B₁D⊂平面BB₁D₁D．∴P∈平面A₁BC₁，且P∈平面BB₁D₁D．
∴P∈平面A₁BC₁∩平面BB₁D₁D，
∵A₁C₁∩B₁D₁=O₁，A₁C₁⊂平面A₁BC₁，B₁D₁⊂平面BB₁D₁D，
∴O₁∈平面A₁BC₁，且O₁∈平面BB₁D₁D．
又B∈平面A₁BC₁，且B∈平面BB₁D₁D，
∴平面A₁BC₁∩平面BB₁D₁D=BO₁．
∴P∈BO₁
B、P、O₁三点共线．