如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，AA1=22，M为棱A1A上的点，若A1C⊥平面MB1D1．（Ⅰ）确定点M的位置；（Ⅱ）求二面角D1-MB1-B的大小．

Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=2，AA₁=2√(2)，M为棱A₁A上的点，若A₁C⊥平面MB₁D₁．
（Ⅰ）确定点M的位置；
（Ⅱ）求二面角D₁-MB₁-B的大小．

Answer 1

（方法一）
（Ⅰ）连结A₁D，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面ADD₁A₁为矩形，
∵A₁C⊥平面MB₁D₁，
∴A₁C⊥D₁M，
因此A₁C在平面AD₁上的射影A₁D⊥D₁M，
∴△A₁MD₁∽△D₁A₁D，
∴A₁M=(A1D21)/(DD1)＝(4)/(2√(2))＝√(2)，因此M是A₁A的中点．…（6分）
（Ⅱ）引A₁E⊥B₁M于E，连结D₁E，则A₁E是
D₁E在平面BA₁上的射影，由三垂线定理可
知D₁E⊥B₁M，
∴∠A₁ED₁是二面角D₁-MB₁-B的平面角的补角，
由（Ⅰ）知，A₁M=√(2)，则tanA1ED1＝(A1D1)/(A1E)＝(2)/((2×√(2))/(√(22+2)))＝√(3)，
∴