如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，动点M在棱A1B1上．（1）求证：DM⊥AD1；（2）当M为A1B1的中点时，求CM与平面DC1所成角的正弦值；（3）当A1M=34A1B1时，求点C到平面D1DM的距离．

Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为6，动点M在棱A₁B₁上．
（1）求证：DM⊥AD₁；
（2）当M为A₁B₁的中点时，求CM与平面DC₁所成角的正弦值；
（3）当A₁M=(3)/(4)A₁B₁时，求点C到平面D₁DM的距离．

Answer 1

（1）证明：连A₁D、B₁C，由正方体性质，AD₁⊥A₁D，A₁B₁⊥AD₁
∴AD1⊥平面A1DCB1
DM⊂平面A₁DCB₁，∴AD1⊥DM
（2）在平面A₁C₁内过点M作MN∥B₁C₁，交D₁C₁于N，
则MN⊥平面DC₁，连NC．
则∠MCN为CM与平面DC₁所成角　…（6分）
∵MN=B₁C₁=6，MC=√(B1C2+MB12)=9
∴sin∠MCN=(MN)/(MC)=(2)/(3)，即所求正弦值为(2)/(3)．…（8分）
（3）连C₁M，作C₁H⊥D₁M于点H，∵DD₁⊥平面A₁C₁∴D₁D⊥C₁H
∵CC₁∥D₁D
D₁D⊂平面D₁DM
CC₁⊄平面D₁DM
∴CC₁∥平面D₁DM
连C₁M，作C₁H⊥D₁M于点H，∵DD₁⊥平面A₁C₁∴D₁D⊥C₁H
∴C₁H⊥平面D₁DM，C₁H为C₁到平面D₁DM的距离即 C到平面D₁DM的距离为C₁H…（10分）
∵(1)/(2)C₁H•D₁M=S_△D1C1M=18，而D₁M=√(A1D12+A1M2)=(15)/(2) 
∴C₁H=(24)/(5)
∴C到平面D₁DM的距离为(24)/(5)…（12分）