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在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E为BB1中点.(Ⅰ)证明:AC⊥D1E;(Ⅱ)求DE与平面AD1E所成角的正弦值.
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在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E为BB1中点.
(Ⅰ)证明:AC⊥D1E;
(Ⅱ)求DE与平面AD1E所成角的正弦值.
(Ⅰ)证明:AC⊥D1E;
(Ⅱ)求DE与平面AD1E所成角的正弦值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:连接BD
∵ABCD-A1B1C1D1是长方体,
∴D1D⊥平面ABCD,
又AC⊂平面ABCD
∴D1D⊥AC…(1分)
在长方形ABCD中,AB=BC
∴BD⊥AC…(2分)
又BD∩D1D=D
∴AC⊥平面BB1D1D,…(3分)
而D1E⊂平面BB1D1D
∴AC⊥D1E…(4分)
(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),D1(0,0,2),E(1,1,1),B(1,1,0),
=(0,1,1),
=(−1,0,2),
=(1,1,1)
设平面AD1E的法向量为
=(x,y,z),则
,
令z=1,则
=(2,−1,1)…(8分)
∴cos<
,
∵ABCD-A1B1C1D1是长方体,
∴D1D⊥平面ABCD,
又AC⊂平面ABCD
∴D1D⊥AC…(1分)
在长方形ABCD中,AB=BC
∴BD⊥AC…(2分)
又BD∩D1D=D
∴AC⊥平面BB1D1D,…(3分)
而D1E⊂平面BB1D1D
∴AC⊥D1E…(4分)
(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),D1(0,0,2),E(1,1,1),B(1,1,0),
AE |
AD1 |
DE |
设平面AD1E的法向量为
n |
|
令z=1,则
n |
∴cos<
n |
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